Solución de integrales

Solución de integrales por cambio de variable

Como indica su nombre, este método de integración consiste en la aplicación de un cambio de variable para simplificar el integrando. No vamos a explicar el método formalmente, pero los pasos a seguir son los siguientes:

Método de integración por sustitución:

1. Escoger un cambio de variable z
   =
   función de x
   
2. Despejar x
    para calcular d
   x
   
3. Sustituir en la integral y resolverla.
4. Deshacer el cambio de variable.

Ejemplo

Vamos a resolver una integral muy sencilla (es una integral directa) por el método de sustitución. Consideremos la siguiente integral: 

1. Buscamos un cambio de variable que sea función de 

x

, por ejemplo, 

2. Aislamos 

x

 y derivamos: 

3. Sustituimos en la integral:

Observad que hemos cambiado 

√

x

 por 

z

 y 

d

x

 por 

2

z

d

z

. Resolvemos la integral:

4. Ya sólo queda deshacer el cambio de variable:

Por tanto, la integral inicial es

Nota: no olvidemos la constante de integración (a la que hemos llamado 

K

). 

La dificultad del método es escoger un cambio útil, ya que, en caso contrario, la integral resultante puede ser de mayor dificultad. En la siguiente tabla se recogen los cambios de variable que tienen alta probabilidad de funcionar en las integrales que usualmente veremos:  

Y también hay muy videos de cómo realizar la Solución de integrales por cambio de variable: